微分積分例

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 1

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2

答えを簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.2

$\sqrt{x + h + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.3

$\sqrt{x + h + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} {\sqrt{x + h + 1}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.6

${\sqrt{x + h + 1}}^{2}$ を $x + h + 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + h + 1}$ を ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{({(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.2.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

ステップ 2.1.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ に $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.4.2

$\sqrt{x + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

ステップ 2.1.4.3

$\sqrt{x + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

ステップ 2.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

ステップ 2.1.4.6

${\sqrt{x + 1}}^{2}$ を $x + 1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 1}$ を ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.1.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.1.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

ステップ 2.1.4.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 2.2

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

ステップ 2.3

$- \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h + 1) (x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

ステップ 2.4.2

$\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ に $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 2.4.3

$(x + h + 1) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1) - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} \cdot 1 - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 2.6.2

$\sqrt{x + h + 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1} \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 2.6.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1}}{(x + 1) (x + h + 1)}$

微分積分 例

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