微分積分例

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[12]{{(x + h)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[12]{{(x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt[12]{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 1.3

極限べき乗則を利用して、指数 $6$ を ${(x + h)}^{6}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\sqrt[12]{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 1.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt[12]{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[12]{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - lim_{h \to 0} \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sqrt[12]{x^{6}}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[12]{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt[12]{{(x + 0)}^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt[12]{x^{6}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 3.1.2

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 3.1.3

$\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}$ を $\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 3.1.4

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt[4]{x^{2}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 3.1.5

$\sqrt[4]{x^{2}}$ を $\sqrt{\sqrt{x^{2}}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{\sqrt{x^{2}}} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 3.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[12]{x^{6}}}{h}$

ステップ 3.1.7

$x^{6}$ を ${(x^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}}{h}$

ステップ 3.1.8

$\sqrt[12]{{(x^{2})}^{3}}$ を $\sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[4]{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3}}}}{h}$

ステップ 3.1.9

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt[4]{x^{2}}}{h}$

ステップ 3.1.10

$\sqrt[4]{x^{2}}$ を $\sqrt{\sqrt{x^{2}}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{\sqrt{x^{2}}}}{h}$

ステップ 3.1.11

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x}}{h}$

ステップ 3.1.12

$\sqrt{x}$ から $\sqrt{x}$ を引きます。

$\frac{0}{h}$

ステップ 3.2

$0$ を $h$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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