微分積分例

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\cos (x + h)) - \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\cos (x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 1.2

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \cos (x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\ln (\cos (lim_{h \to 0} x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 1.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\ln (\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (\cos (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\ln (\cos (x))$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (\cos (x + lim_{h \to 0} h)) - \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (\cos (x + 0)) - \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (\cos (x)) - \ln (\cos (x))}{h}$

ステップ 3.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{h}$

ステップ 3.1.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{h}$

ステップ 3.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{\ln (1)}{h}$

ステップ 3.1.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{h}$

ステップ 3.2

$0$ を $h$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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