微分積分例

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to π} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\tan^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to π} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

ステップ 1.1.2.1.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to π} x)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan^{2} (π)}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正切は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{{(- \tan (0))}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

ステップ 1.1.2.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{{(- 0)}^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

ステップ 1.1.2.3.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + \sec (x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to π} 1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $π$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 + lim_{x \to π} \sec (x)}$

ステップ 1.1.3.1.3

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 + \sec (lim_{x \to π} x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 + \sec (π)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{0}{1 - \sec (0)}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to π} \frac{\tan^{2} (x)}{1 + \sec (x)} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\tan (x)$ とします。

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

ステップ 1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to π} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

ステップ 1.3.4

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}$

ステップ 1.3.5

総和則では、 $1 + \sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

ステップ 1.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

ステップ 1.3.7

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{0 + \sec (x) \tan (x)}$

ステップ 1.3.8

$0$ と $\sec (x) \tan (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x) \tan (x)}$

ステップ 1.4

約分します。

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ステップ 1.4.1

$\sec^{2} (x)$ と $\sec (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.1

$\sec (x)$ を $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

ステップ 1.4.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1.2.1

$\sec (x)$ を $\sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) (\tan (x))}$

ステップ 1.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to π} \frac{\sec (x) (2 \sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \tan (x)}$

ステップ 1.4.1.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

ステップ 1.4.2

$\tan (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to π} \frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\tan (x)}$

ステップ 1.4.2.2

$2 \sec (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to π} 2 \sec (x)$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to π} \sec (x)$

ステップ 2.2

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \sec (lim_{x \to π} x)$

ステップ 3

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \sec (π)$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- \sec (0))$

ステップ 4.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.3

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 1$

ステップ 4.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2$

微分積分 例

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