微分積分例

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 1

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に変換します。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$

ステップ 2

${(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$ を $\frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ に書き換えます。

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

ステップ 3

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4

左側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x - π)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2.1.2

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2.1.3

$x$ が $π$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.2.3.1

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.1.1.2.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 4.1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

ステップ 4.1.1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.2

${(x - π)}^{2}$ を $(x - π) (x - π)$ に書き換えます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - π) (x - π)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4.1.2

$- π (- π)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4.1.2.2

$π$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4.1.2.3

$π$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4.1.2.4

$π$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4.2

$x (- π)$ から $π x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.4.2.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.4.2.2

$- π x$ から $π x$ を引きます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.5

総和則では、 $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ です。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.7

$- 2 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 π x$ の微分係数は $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.10

$π^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $π^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.11

$2 x - 2 π$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 4.1.3.12

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.12.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\csc (x)$ とします。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 4.1.3.12.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 4.1.3.12.3

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 4.1.3.13

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

ステップ 4.1.3.14

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

ステップ 4.1.3.15

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

ステップ 4.1.3.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

ステップ 4.1.3.17

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

ステップ 4.1.3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.18.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

ステップ 4.1.3.18.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

ステップ 4.1.3.18.3

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 4.1.3.18.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.18.4.1

$\sin (x)$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 4.1.3.18.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 4.1.3.18.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

ステップ 4.1.3.18.5

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

ステップ 4.1.4

$2$ を $2 x - 2 π$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

ステップ 4.1.4.2

$2$ を $- 2 π$ で因数分解します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

ステップ 4.1.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- π)$ で因数分解します。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

ステップ 4.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

ステップ 4.3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 4.3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.1.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 4.3.1.2.1.2

$x$ が $π$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 4.3.1.2.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 4.3.1.2.3

$π$ から $π$ を引きます。

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

ステップ 4.3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

ステップ 4.3.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

ステップ 4.3.1.3.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

ステップ 4.3.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.3.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 4.3.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 4.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 4.3.3.2

総和則では、 $x - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 4.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 4.3.3.4

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 4.3.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 4.3.3.6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 4.3.3.6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 4.3.3.6.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 4.3.3.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

ステップ 4.3.3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

ステップ 4.3.3.10

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 4.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

ステップ 4.4.2

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{-}} 1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

ステップ 4.4.3

$x$ が $π$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

ステップ 4.4.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

ステップ 4.4.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

ステップ 4.5

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

ステップ 4.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

ステップ 4.6.1.2

式を書き換えます。

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

ステップ 4.6.2

$\frac{1}{\cos (2 π)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

ステップ 4.6.3

$\frac{1}{\cos (2 π)}$ を $\sec (2 π)$ に変換します。

$\sec (2 π)$

ステップ 4.6.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\sec (0)$

ステップ 4.6.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 5

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

ステップ 6

右側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 6.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x - π)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 6.1.1.2.1.2

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 6.1.1.2.1.3

$x$ が $π$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 6.1.1.2.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 6.1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.2.3.1

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 6.1.1.2.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

ステップ 6.1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

ステップ 6.1.1.3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ は $0$ に近づきます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.1.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.2

${(x - π)}^{2}$ を $(x - π) (x - π)$ に書き換えます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - π) (x - π)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4.1.2

$- π (- π)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.4.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4.1.2.2

$π$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4.1.2.3

$π$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4.1.2.4

$π$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4.2

$x (- π)$ から $π x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.4.2.1

$x$ を移動させます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.4.2.2

$- π x$ から $π x$ を引きます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.5

総和則では、 $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ です。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.7

$- 2 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 π x$ の微分係数は $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.10

$π^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $π^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.11

$2 x - 2 π$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

ステップ 6.1.3.12

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.12.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\csc (x)$ とします。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 6.1.3.12.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 6.1.3.12.3

$u$ のすべての発生を $\csc (x)$ で置き換えます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

ステップ 6.1.3.13

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

ステップ 6.1.3.14

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

ステップ 6.1.3.15

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

ステップ 6.1.3.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

ステップ 6.1.3.17

$1$ から $3$ を引きます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

ステップ 6.1.3.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.18.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

ステップ 6.1.3.18.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

ステップ 6.1.3.18.3

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.18.4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.18.4.1

$\sin (x)$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.18.4.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 6.1.3.18.4.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

ステップ 6.1.3.18.5

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

ステップ 6.1.4

$2$ を $2 x - 2 π$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

ステップ 6.1.4.2

$2$ を $- 2 π$ で因数分解します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

ステップ 6.1.4.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- π)$ で因数分解します。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

ステップ 6.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

ステップ 6.3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 6.3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1.1

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 6.3.1.2.1.2

$x$ が $π$ に近づくと定数である $π$ の極限値を求めます。

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 6.3.1.2.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 6.3.1.2.3

$π$ から $π$ を引きます。

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

ステップ 6.3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

ステップ 6.3.1.3.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

ステップ 6.3.1.3.2

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

ステップ 6.3.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 6.3.1.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 6.3.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 6.3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 6.3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 6.3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 6.3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 6.3.3.2

総和則では、 $x - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 6.3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 6.3.3.4

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 6.3.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

ステップ 6.3.3.6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 6.3.3.6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 6.3.3.6.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

ステップ 6.3.3.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 6.3.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.3.9

$2$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

ステップ 6.3.3.10

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

ステップ 6.4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

ステップ 6.4.2

$x$ が $π$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{+}} 1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

ステップ 6.4.3

$x$ が $π$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

ステップ 6.4.4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

ステップ 6.4.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

ステップ 6.5

$x$ を $π$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

ステップ 6.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

ステップ 6.6.1.2

式を書き換えます。

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

ステップ 6.6.2

$\frac{1}{\cos (2 π)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

ステップ 6.6.3

$\frac{1}{\cos (2 π)}$ を $\sec (2 π)$ に変換します。

$\sec (2 π)$

ステップ 6.6.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\sec (0)$

ステップ 6.6.5

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

ステップ 7

左側極限が右側極限に等しいので、極限は $1$ に等しいです。

$1$

微分積分 例

微分積分例