微分積分例

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + lim_{x \to 1} 3 x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 1.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1 + 3 lim_{x \to 1} x^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 1.4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1 + 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + 3 \cdot 1^{3}}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 + 3 \cdot 1}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 3.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + 3}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 3.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{4}{{(1 + 4 x^{2} + 3 x^{4})}^{3}}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

群による因数分解。

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ステップ 3.2.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.2.1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ で和が $b = 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1.2.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 4 (x^{2}) + 1)}^{3}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$4$ を $1$ プラス $3$ に書き換える

$\frac{4}{{(3 x^{4} + (1 + 3) x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{{(3 x^{4} + 1 x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.2.1.2.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{{(3 x^{4} + x^{2} + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.2.1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{4}{{((3 x^{4} + x^{2}) + 3 x^{2} + 1)}^{3}}$

ステップ 3.2.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{4}{{(x^{2} (3 x^{2} + 1) + 1 (3 x^{2} + 1))}^{3}}$

ステップ 3.2.1.4

最大公約数 $3 x^{2} + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{4}{{((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}^{3}}$

ステップ 3.2.2

積の法則を $(3 x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に当てはめます。

$\frac{4}{{(3 x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{3}}$

微分積分 例

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