微分積分例

$lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos (y)}{y^{2}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{y \to 0} 1 - \cos (y)}{lim_{y \to 0} y^{2}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$y$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{y \to 0} 1 - lim_{y \to 0} \cos (y)}{lim_{y \to 0} y^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$y$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - lim_{y \to 0} \cos (y)}{lim_{y \to 0} y^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1 - \cos (lim_{y \to 0} y)}{lim_{y \to 0} y^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$y$ を $0$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{y \to 0} y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{y \to 0} y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{y \to 0} y^{2}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{y \to 0} y^{2}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $y^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{y \to 0} y)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$y$ を $0$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{y \to 0} \frac{1 - \cos (y)}{y^{2}} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [1 - \cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [1 - \cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $1 - \cos (y)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ です。

$lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3.3

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{y \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d y} [- \cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d y} [- \cos (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- \cos (y)$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [\cos (y)]$ です。

$lim_{y \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d y} [\cos (y)]}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3.4.2

$y$ に関する $\cos (y)$ の微分係数は $- \sin (y)$ です。

$lim_{y \to 0} \frac{0 - - \sin (y)}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{y \to 0} \frac{0 + 1 \sin (y)}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3.4.4

$\sin (y)$ に $1$ をかけます。

$lim_{y \to 0} \frac{0 + \sin (y)}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $\sin (y)$ をたし算します。

$lim_{y \to 0} \frac{\sin (y)}{\frac{d}{d y} [y^{2}]}$

ステップ 1.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{y \to 0} \frac{\sin (y)}{2 y}$

ステップ 2

$\frac{1}{2}$ の項は $y$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2} lim_{y \to 0} \frac{\sin (y)}{y}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{y \to 0} \sin (y)}{lim_{y \to 0} y}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{y \to 0} y)}{lim_{y \to 0} y}$

ステップ 3.1.2.2

$y$ を $0$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{y \to 0} y}$

ステップ 3.1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{y \to 0} y}$

ステップ 3.1.3

$y$ を $0$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{y \to 0} \frac{\sin (y)}{y} = lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [\sin (y)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{2} lim_{y \to 0} \frac{\frac{d}{d y} [\sin (y)]}{\frac{d}{d y} [y]}$

ステップ 3.3.2

$y$ に関する $\sin (y)$ の微分係数は $\cos (y)$ です。

$\frac{1}{2} lim_{y \to 0} \frac{\cos (y)}{\frac{d}{d y} [y]}$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} lim_{y \to 0} \frac{\cos (y)}{1}$

ステップ 3.4

$\cos (y)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} lim_{y \to 0} \cos (y)$

ステップ 4

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{2} \cos (lim_{y \to 0} y)$

ステップ 5

$y$ を $0$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2} \cos (0)$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

微分積分例