微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln ({(x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 1.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln ({(x)}^{2})$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 1.1.3

指数 $\frac{1}{x}$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{\frac{1}{x}}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 1.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{e^{\frac{1}{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln ({(x)}^{2})]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を ${(x)}^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を ${(x)}^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.4

$2$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{2}{x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.6

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.6.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.6.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]}$

ステップ 1.3.7

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 1.3.7.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 1.3.7.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

ステップ 1.3.9

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})}$

ステップ 1.3.10

簡約します。

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ステップ 1.3.10.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})}$

ステップ 1.3.10.2

$e^{\frac{1}{x}}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{x}}{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{x} (- \frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}})$

ステップ 1.5

$\frac{2}{x}$ に $\frac{x^{2}}{e^{\frac{1}{x}}}$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{x e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 1.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

$x$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 1.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$x$ を $x e^{\frac{1}{x}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x (e^{\frac{1}{x}})}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x (2 x)}{x e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 1.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$

ステップ 3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{x}{e^{\frac{1}{x}}}$ は $0$ に近づきます。

$- 2 \cdot 0$

ステップ 4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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