微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{2} + 6 x - 7}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} + 6 x - 7}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} + 6 x - 7}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} + 6 x - 7}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} + 6 x - 7}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} + 6 x - 7}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + 6 x - 7}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 6 x - lim_{x \to 1} 7}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 6 x - lim_{x \to 1} 7}$

ステップ 1.1.3.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 7}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 7}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} + 6 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 7}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1^{2} + 6 \cdot 1 - 1 \cdot 7}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{1 + 6 \cdot 1 - 1 \cdot 7}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 6 - 1 \cdot 7}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 6 - 7}$

ステップ 1.1.3.6.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{0}{7 - 7}$

ステップ 1.1.3.6.3

$7$ から $7$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x^{2} + 6 x - 7} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]}$

ステップ 1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]}$

ステップ 1.3.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $x^{2} + 6 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

ステップ 1.3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.8.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}$

ステップ 1.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

ステップ 1.3.8.3

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7]}$

ステップ 1.3.9

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x + 6 + 0}$

ステップ 1.3.10

$2 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x + 6}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x + 6}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x + 6}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 6}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 6}$

ステップ 2.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 lim_{x \to 1} x + 6}$

ステップ 3

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 6}$

ステップ 4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 + 6}$

ステップ 4.2

$2$ と $6$ をたし算します。

$\frac{1}{8}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{8}$

10進法形式：

$0.125$

微分積分 例

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