微分積分例

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

ステップ 1

$\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

ステップ 2.1.2.3

$1$ の対数の底 $4$ は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

ステップ 2.1.3.3

$1$ の対数の底 $2$ は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\log_{4} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (4)}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

ステップ 2.3.3

$x$ に関する $\log_{2} (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (2)}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

ステップ 2.5

因数をまとめます。

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ステップ 2.5.1

$x$ と $\frac{1}{x \ln (4)}$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

ステップ 2.5.2

$\frac{x}{x \ln (4)}$ と $\ln (2)$ をまとめます。

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

ステップ 2.6

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

ステップ 2.6.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $1$ に近づくと定数である $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

ステップ 3.2

答えを簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

ステップ 3.2.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

ステップ 3.2.3

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

ステップ 3.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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