微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.1.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{\ln (1 + {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.2.3.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0^{3}}$

ステップ 1.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $1 + x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $1 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.7

$2$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{1 + x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.8

$\frac{2}{1 + x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.9

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

ステップ 1.3.10

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

ステップ 1.5

$\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ に $\frac{1}{3 x^{2}}$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

ステップ 1.6

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

ステップ 1.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.2.1

$x$ を $(x^{2} + 1) (3 x^{2})$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

ステップ 1.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot 2}{x ((x^{2} + 1) (3 x))}$

ステップ 1.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{(x^{2} + 1) (3 x)}$

ステップ 2

分子が正で、分母 $(x^{2} + 1) (3 x)$ が0に近づき、右側の $0$ に近い $x$ について0より大きいので、関数は界なく増加します。

$\infty$

微分積分 例

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