微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

ステップ 1

$x$ が $0$ に近づくと定数である $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2

答えを簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ に $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ をかけます。

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ に $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.2

$\sqrt{1 + t}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (\sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.3

$\sqrt{1 + t}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.4

$\sqrt{1 + t}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} {\sqrt{1 + t}}^{1})} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{1 + 1}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{2}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.7

${\sqrt{1 + t}}^{2}$ を $1 + t$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + t}$ を ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{1}} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.1.2.7.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t}$

ステップ 2.2

$- \frac{1}{t}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + t}{1 + t}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1 + t}{1 + t}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{t}$ に $\frac{1 + t}{1 + t}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1 + t}{t (1 + t)}$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{1 + t} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + t}$ を ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

ステップ 2.5.2

$1 + t$ を ${({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{t (1 + t)}$

ステップ 2.5.3

$u = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u$ を ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$\frac{u - u^{2}}{t (1 + t)}$

ステップ 2.5.4

$u$ を $u - u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.4.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{u^{1} - u^{2}}{t (1 + t)}$

ステップ 2.5.4.2

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{t (1 + t)}$

ステップ 2.5.4.3

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{t (1 + t)}$

ステップ 2.5.4.4

$u$ を $u \cdot 1 + u (- u)$ で因数分解します。

$\frac{u (1 - u)}{t (1 + t)}$

ステップ 2.5.5

$u$ のすべての発生を ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{t (1 + t)}$

ステップ 2.6

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t (1 + t) {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.7

指数を足して $1 + t$ に ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1

${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (1 + t))}$

ステップ 2.7.2

${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ に $1 + t$ をかけます。

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ステップ 2.7.2.1

$1 + t$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + t)}^{1})}$

ステップ 2.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 2.7.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 2.7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

ステップ 2.7.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例