微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln (x + 1)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0^{+}} x}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

ステップ 1.1.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x + 1)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}$

ステップ 1.1.3.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{\ln (1)}$

ステップ 1.1.3.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\ln (x + 1)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.9

簡約します。

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ステップ 1.3.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.9.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

ステップ 1.3.10

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.10.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.10.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.10.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

ステップ 1.3.11

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 1.3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

ステップ 1.3.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

ステップ 1.3.14

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

ステップ 1.3.15

$\frac{1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x + 1}}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x + 1)$

ステップ 1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x + 1)$

ステップ 1.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $x + 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}}$

ステップ 2

分子が正で、分母 $2 \sqrt{x}$ が0に近づき、右側の $0$ に近い $x$ について0より大きいので、関数は界なく増加します。

$\infty$

微分積分 例

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