微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)$

ステップ 1

$\tan (x) \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

ステップ 2.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

三角関数の公式を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

ステップ 2.1.3.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

ステップ 2.1.3.1.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ 値が $0$ に右から近づくとき、関数の値は境界なく増加します。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

ステップ 2.3.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}$

ステップ 2.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

ステップ 2.3.5

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

ステップ 2.3.6

簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

ステップ 2.3.6.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

ステップ 2.3.7

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.9

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.10

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.13

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.14

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.15

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.16

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.17

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.18

簡約します。

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ステップ 2.3.18.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.18.1.1

$- 1$ を $- \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.18.1.2

$- 1$ を $- \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.18.1.3

$- 1$ を $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.18.1.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.18.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.3.18.2

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \sin^{2} (x))$

ステップ 2.5

$\frac{1}{x}$ と $\sin^{2} (x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

ステップ 3

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sin^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.1.2.1.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 4.1.2.3.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4

簡約します。

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ステップ 4.3.4.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4.2

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4.3

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}$

ステップ 4.4

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

ステップ 5.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \sin (2 \cdot 0)$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ に $0$ をかけます。

$- \sin (0)$

ステップ 7.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 0$

ステップ 7.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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