微分積分例

$lim_{x \to 0^{+}} x^{1.4} \cdot \ln (x)$

ステップ 1

$x^{1.4} \cdot \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 1.4}}$

ステップ 2.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 1.4}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{1.4}}}$

ステップ 2.1.3.2

分子が正で、分母 $x^{1.4}$ が0に近づき、右側の $0$ に近い $x$ について0より大きいので、関数は境界なく増加します。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.3.3

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 1.4}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1.4}]}$

ステップ 2.3.3

$n = - 1.4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1.4 x^{- 2.4}}$

ステップ 2.3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 1.4 \frac{1}{x^{2.4}}}$

ステップ 2.3.4.2

$- 1.4$ と $\frac{1}{x^{2.4}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1.4}{x^{2.4}}}$

ステップ 2.3.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1.4}{x^{2.4}}}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{2.4}}{1.4})$

ステップ 2.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x^{2.4}}{1.4}$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2.4}}{x \cdot 1.4}$

ステップ 2.6

$x^{2.4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$x$ を $x^{2.4}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x \cdot 1.4}$

ステップ 2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$x$ を $x \cdot 1.4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x (1.4)}$

ステップ 2.6.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{1.4}}{x \cdot 1.4}$

ステップ 2.6.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{1.4}}{1.4}$

ステップ 2.7

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1 x^{1.4}}{1.4}$

ステップ 2.8

$1.4$ を $1.4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1 x^{1.4}}{1.4 (1)}$

ステップ 2.9

分数を分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} - (\frac{1}{1.4} \cdot \frac{x^{1.4}}{1})$

ステップ 2.10

$1$ を $1.4$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} - (0.\overline{714285} \frac{x^{1.4}}{1})$

ステップ 2.11

$x^{1.4}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} - (0.\overline{714285} x^{1.4})$

ステップ 2.12

$0.\overline{714285}$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} - 0.\overline{714285} x^{1.4}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 0.\overline{714285}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 0.\overline{714285} lim_{x \to 0^{+}} x^{1.4}$

ステップ 3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $1.4$ を $x^{1.4}$ から極限値外側に移動させます。

$- 0.\overline{714285} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{1.4}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- 0.\overline{714285} \cdot 0^{1.4}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 0.\overline{714285} \cdot 0$

ステップ 5.2

$- 0.\overline{714285}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例