微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{4 x - x^{2} - 3}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 4 x - x^{2} - 3}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 4 x - x^{2} - 3}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 4 x - x^{2} - 3}$

ステップ 1.1.2.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x - x^{2} - 3}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3}$

ステップ 1.1.3.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3}$

ステップ 1.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3}$

ステップ 1.1.3.4

$x$ が $1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.5

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.5.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.5.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \cdot 1 - 1^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.6.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 1^{2} - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.6.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 1 - 1 \cdot 3}$

ステップ 1.1.3.6.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 1 - 3}$

ステップ 1.1.3.6.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{3 - 3}$

ステップ 1.1.3.6.3

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{4 x - x^{2} - 3} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2} - 3]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2} - 3]}$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [4 x - x^{2} - 3]}$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $4 x - x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{4 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{4 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.5.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{4 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 3]}$

ステップ 1.3.6

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{4 - 2 x + 0}$

ステップ 1.3.7

簡約します。

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ステップ 1.3.7.1

$4 - 2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{4 - 2 x}$

ステップ 1.3.7.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 x + 4}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 x + 4}$

ステップ 1.5

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{- 2 x + 4}$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (- 2 x + 4)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 4)}$

ステップ 2.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 4)}$

ステップ 2.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} - 2 x + 4}$

ステップ 2.4

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 4)}$

ステップ 2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 4)}$

ステップ 2.6

$x$ が $1$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 4)}$

ステップ 3

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 4)}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 4)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 4)}$

ステップ 4.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{- 2 \cdot 1 + 4}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 2 + 4}$

ステップ 4.2.2

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.5$

微分積分 例

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