微分積分例

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \cot (x^{2})$

ステップ 1

$(x^{2}) \cot (x^{2})$ を $\frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 2

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 3

左側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 3.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 3.1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 3.1.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 3.1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.1

三角関数の公式を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x^{2})$ を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

ステップ 3.1.1.3.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

ステップ 3.1.1.3.1.3

$\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ を $\tan (x^{2})$ に変換します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \tan (x^{2})}$

ステップ 3.1.1.3.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.2.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})}$

ステップ 3.1.1.3.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})}$

ステップ 3.1.1.3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

ステップ 3.1.1.3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.3.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{\tan (0)}$

ステップ 3.1.1.3.4.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

ステップ 3.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

ステップ 3.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

ステップ 3.1.3.3

正弦と余弦に関して $\cot (x^{2})$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

ステップ 3.1.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

ステップ 3.1.3.5

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

ステップ 3.1.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.6.1

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

ステップ 3.1.3.6.2

$\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

ステップ 3.1.3.7

$f (x) = \sin (x^{2})$ および $g (x) = \cos (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.8

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.8.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.8.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.9

$\cos (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.10

$\cos (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.14

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.14.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.14.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.14.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.16

$\sin (x^{2})$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.17

$\sin (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.18

$\sin (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.21

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.22

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.22.1

$2 x$ を $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.22.1.1

$2 x$ を $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.22.1.2

$2 x$ を $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.22.1.3

$2 x$ を $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.22.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.22.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.3.22.4

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 3.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{-}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

ステップ 3.1.5

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$2$ と $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{-}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

ステップ 3.1.5.2

$x$ と $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

ステップ 3.1.6

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

ステップ 3.1.6.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

ステップ 3.1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

ステップ 3.1.6.2.2

$\cos^{2} (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{-}} \cos^{2} (x^{2})$

ステップ 3.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x^{2})$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{x \to 0^{-}} \cos (x^{2}))}^{2}$

ステップ 3.2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{-}} x^{2})$

ステップ 3.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2})$

ステップ 3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos^{2} (0^{2})$

ステップ 3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\cos^{2} (0)$

ステップ 3.4.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1^{2}$

ステップ 3.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$1$

ステップ 4

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 5

右側極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 5.1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 5.1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 5.1.1.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x^{2})}}$

ステップ 5.1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.1

三角関数の公式を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x^{2})$ を書き換えます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}}$

ステップ 5.1.1.3.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

ステップ 5.1.1.3.1.3

$\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ を $\tan (x^{2})$ に変換します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x^{2})}$

ステップ 5.1.1.3.2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.2.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})}$

ステップ 5.1.1.3.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{\tan ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})}$

ステップ 5.1.1.3.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\tan (0^{2})}$

ステップ 5.1.1.3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.3.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0}{\tan (0)}$

ステップ 5.1.1.3.4.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\frac{1}{\cot (x^{2})}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

ステップ 5.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x^{2})}]}$

ステップ 5.1.3.3

正弦と余弦に関して $\cot (x^{2})$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}}]}$

ステップ 5.1.3.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

ステップ 5.1.3.5

$1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

ステップ 5.1.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.6.1

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

ステップ 5.1.3.6.2

$\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}]}$

ステップ 5.1.3.7

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.8

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.8.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.8.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos (x^{2}) (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.9

$\cos (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.10

$\cos (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{{\cos (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.14

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1.3.14.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.14.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.14.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) - \sin (x^{2}) (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + 1 \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.16

$\sin (x^{2})$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin (x^{2}) (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.17

$\sin (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.18

$\sin (x^{2})$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + {\sin (x^{2})}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.21

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.22

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.3.22.1

$2 x$ を $\cos^{2} (x^{2}) (2 x) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.3.22.1.1

$2 x$ を $\cos^{2} (x^{2}) (2 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + \sin^{2} (x^{2}) (2 x)}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.22.1.2

$2 x$ を $\sin^{2} (x^{2}) (2 x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.22.1.3

$2 x$ を $2 x (\cos^{2} (x^{2})) + 2 x (\sin^{2} (x^{2}))$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\cos^{2} (x^{2}) + \sin^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.22.2

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x (\sin^{2} (x^{2}) + \cos^{2} (x^{2}))}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.22.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x \cdot 1}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.3.22.4

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}$

ステップ 5.1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0^{+}} 2 x \frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

ステップ 5.1.5

因数をまとめます。

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ステップ 5.1.5.1

$2$ と $\frac{\cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} x \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$

ステップ 5.1.5.2

$x$ と $\frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2 x}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

ステップ 5.1.6

約分します。

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ステップ 5.1.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.6.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x (2 \cos^{2} (x^{2}))}{2 x}$

ステップ 5.1.6.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

ステップ 5.1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos^{2} (x^{2})}{2}$

ステップ 5.1.6.2.2

$\cos^{2} (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x^{2})$

ステップ 5.2

極限を求めます。

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ステップ 5.2.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\cos^{2} (x^{2})$ から極限値外側に移動させます。

${(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x^{2}))}^{2}$

ステップ 5.2.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x^{2})$

ステップ 5.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\cos^{2} ({(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2})$

ステップ 5.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos^{2} (0^{2})$

ステップ 5.4

答えを簡約します。

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ステップ 5.4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\cos^{2} (0)$

ステップ 5.4.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1^{2}$

ステップ 5.4.3

1のすべての数の累乗は1です。

$1$

ステップ 6

左側極限が右側極限に等しいので、極限は $1$ に等しいです。

$1$

微分積分 例

微分積分例