微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin (4 x)}{\sin (4 x) \sin (6 x)}$

ステップ 1

$\sin (4 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin (4 x)}{\sin (4 x) \sin (6 x)}$

ステップ 1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{\sin (6 x)}$

ステップ 2

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 2.1

$\frac{\sin (5 x)}{\sin (6 x)}$ を積として書き換えます。

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \frac{1}{\sin (6 x)}$

ステップ 2.2

$\sin (5 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (6 x)}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\sin (5 x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \frac{1}{\sin (6 x)}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{\sin (6 x)}$ を $\csc (6 x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \csc (6 x)$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (5 x) \csc (6 x)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\sin (5 x) \csc (6 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (5 x) \csc (6 x) \\ - 0.1 & 0.84907806 \\ - 0.01 & 0.83348615 \\ - 0.001 & 0.83333486 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.833$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\sin (5 x) \csc (6 x)$ の極限は $0.833$ です。

$0.833$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (5 x) \csc (6 x)$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\sin (5 x) \csc (6 x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (5 x) \csc (6 x) \\ 0.1 & 0.84907806 \\ 0.01 & 0.83348615 \\ 0.001 & 0.83333486 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0.833$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\sin (5 x) \csc (6 x)$ の極限は $0.833$ です。

$0.833$

微分積分 例