微分積分例

$lim_{x \to 0} (\sqrt{x^{3} + x^{2}}) \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 7

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 8

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\sin (\frac{π}{x})$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

ステップ 9

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\sin (\frac{π}{x})$ の極限は $0$ です。

$0$

ステップ 10

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

ステップ 11

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\sin (\frac{π}{x})$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

ステップ 12

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\sin (\frac{π}{x})$ の極限は $0$ です。

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot 0$

ステップ 13

答えを簡約します。

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ステップ 13.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt{0 + 0^{2}} \cdot 0$

ステップ 13.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt{0 + 0} \cdot 0$

ステップ 13.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{0} \cdot 0$

ステップ 13.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{0^{2}} \cdot 0$

ステップ 13.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0 \cdot 0$

ステップ 13.6

$0$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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