微分積分例

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

ステップ 1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

ステップ 3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

ステップ 4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

ステップ 5

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

ステップ 6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

ステップ 7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

ステップ 9

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

ステップ 9.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

ステップ 10

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

ステップ 11

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\sin (\frac{2 π}{x})$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

ステップ 12

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\sin (\frac{2 π}{x})$ の極限は $0$ です。

$0$

ステップ 13

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

ステップ 14

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\sin (\frac{2 π}{x})$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

ステップ 15

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\sin (\frac{2 π}{x})$ の極限は $0$ です。

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

ステップ 16

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

ステップ 16.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

ステップ 16.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

ステップ 16.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

ステップ 16.5

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

ステップ 16.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

ステップ 16.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.7.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 \cdot (1 - 0)$

ステップ 16.7.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 \cdot (1 + 0)$

ステップ 16.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 \cdot 1$

ステップ 16.9

$0$ に $1$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例