微分積分例

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ を積として書き換えます。

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 1.2

$\sin (4 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\sin (4 x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

ステップ 2

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

ステップ 3

左側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

ステップ 4

表を作り、 $x$ が左から $0$ に近づくときの関数 $\sin (4 x) \csc (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

ステップ 5

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $4$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が左から $0$ に近づくときの $\sin (4 x) \csc (x)$ の極限は $4$ です。

$4$

ステップ 6

右側極限を考えます。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

ステップ 7

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $\sin (4 x) \csc (x)$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

ステップ 8

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $4$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $\sin (4 x) \csc (x)$ の極限は $4$ です。

$\sqrt{4}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2}}$

ステップ 9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2$

微分積分 例

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