微分積分例

$lim_{x \to 0} 5 x^{7 x}$

ステップ 1

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} 5 x^{7 x}$

ステップ 2

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ を $0$ に代入し、 $5 x^{7 x}$ の極限値を求めます。

$5 \cdot 0^{7 \cdot 0}$

ステップ 2.2

$7$ に $0$ をかけます。

$5 \cdot 0^{0}$

ステップ 2.3

$5 \cdot 0^{0}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 3

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} 5 x^{7 x}$

ステップ 4

右側極限を求めます。

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ステップ 4.1

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 lim_{x \to 0^{+}} x^{7 x}$

ステップ 4.2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x^{7 x}$ を $e^{\ln (x^{7 x})}$ に書き換えます。

$5 lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{7 x})}$

ステップ 4.2.2

$7 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{7 x})$ を展開します。

$5 lim_{x \to 0^{+}} e^{7 x \ln (x)}$

ステップ 4.3

極限を求めます。

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ステップ 4.3.1

指数に極限を移動させます。

$5 e^{lim_{x \to 0^{+}} 7 x \ln (x)}$

ステップ 4.3.2

$7$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}$

ステップ 4.4

$x \ln (x)$ を $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}$

ステップ 4.5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$5 e^{7 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.5.1.2

$x$ が $0$ に右から近づくとき、 $\ln (x)$ は境界がなく減少します。

$5 e^{7 \frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

ステップ 4.5.1.3

$x$ が $0$ に右から近づくとき、分子が定数で分母が $0$ に近づくので、分数 $\frac{1}{x}$ は無限大に近づきます。

$5 e^{7 \frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$5 e^{7 \frac{- \infty}{\infty}}$

ステップ 4.5.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

ステップ 4.5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.5.3.1

分母と分子を微分します。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.5.3.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

ステップ 4.5.3.3

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

ステップ 4.5.3.4

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

ステップ 4.5.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

ステップ 4.5.5

$\frac{1}{x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}$

ステップ 4.5.6

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.6.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}$

ステップ 4.5.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

ステップ 4.5.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

ステップ 4.5.6.2.3

共通因数を約分します。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

ステップ 4.5.6.2.4

式を書き換えます。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}$

ステップ 4.5.6.2.5

$x$ を $1$ で割ります。

$5 e^{7 lim_{x \to 0^{+}} - x}$

ステップ 4.6

極限を求めます。

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ステップ 4.6.1

極限を求めます。

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ステップ 4.6.1.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$5 e^{7 \cdot - 1 lim_{x \to 0^{+}} x}$

ステップ 4.6.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$5 e^{7 \cdot 0}$

ステップ 4.6.2

答えを簡約します。

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ステップ 4.6.2.1

$7$ に $0$ をかけます。

$5 e^{0}$

ステップ 4.6.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$5 \cdot 1$

ステップ 4.6.2.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 5

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

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