微分積分例

$lim_{x \to 3} (\frac{1}{4 \sqrt[12]{x^{5}}} - 8 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 1

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to 3} \frac{1}{4 \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 2

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 3

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 4

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{lim_{x \to 3} x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 6

極限べき乗則を利用して、指数 $5$ を $x^{5}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 7

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 8

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 9

$x$ が $3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 10

$x$ が $3$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

ステップ 11

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{x \to 3} x^{2}}}$

ステップ 12

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

ステップ 13

すべての $x$ に $3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

ステップ 13.2

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

ステップ 13.3

$x$ を $3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{4 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.2

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.3

$3$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{4 \sqrt[12]{243}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.4

$\frac{1}{4 \sqrt[12]{243}}$ に $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ をかけます。

$\frac{1}{4 \sqrt[12]{243}} \cdot \frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.5.1

$\frac{1}{4 \sqrt[12]{243}}$ に $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ をかけます。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.2

$\sqrt[12]{243}$ を移動させます。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 (\sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.3

$\sqrt[12]{243}$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 ({\sqrt[12]{243}}^{1} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 {\sqrt[12]{243}}^{1 + 11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.5

$1$ と $11$ をたし算します。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 {\sqrt[12]{243}}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.6

${\sqrt[12]{243}}^{12}$ を $243$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[12]{243}$ を $243^{\frac{1}{12}}$ に書き換えます。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 {(243^{\frac{1}{12}})}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243^{\frac{1}{12} \cdot 12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.6.3

$\frac{1}{12}$ と $12$ をまとめます。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.6.4

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243^{1}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.5.6.5

指数を求めます。

$\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.6.1

${\sqrt[12]{243}}^{11}$ を $\sqrt[12]{243^{11}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[12]{243^{11}}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.6.2

$243$ を $11$ 乗します。

$\frac{\sqrt[12]{174449211009120000000000000}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.6.3

$174449211009120000000000000$ を $10^{12} \cdot 174449211009120$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.6.3.1

$1000000000000$ を $174449211009120000000000000$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt[12]{1000000000000 (174449211009120)}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.6.3.2

$1000000000000$ を $10^{12}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt[12]{10^{12} \cdot 174449211009120}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.6.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{10 \sqrt[12]{174449211009120}}{4 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.7

$4$ に $243$ をかけます。

$\frac{10 \sqrt[12]{174449211009120}}{972} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.8

$10$ と $972$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.8.1

$2$ を $10 \sqrt[12]{174449211009120}$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \sqrt[12]{174449211009120})}{972} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.8.2.1

$2$ を $972$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 (486)} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 \cdot 486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

ステップ 14.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

ステップ 14.1.10

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

ステップ 14.1.11

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.11.1

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

ステップ 14.1.11.2

$\sqrt[3]{9}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

ステップ 14.1.11.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

ステップ 14.1.11.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

ステップ 14.1.11.5

${\sqrt[3]{9}}^{3}$ を $9$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.11.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{9}$ を $9^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 14.1.11.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 14.1.11.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 14.1.11.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.11.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 14.1.11.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

ステップ 14.1.11.5.5

指数を求めます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

ステップ 14.1.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.12.1

${\sqrt[3]{9}}^{2}$ を $\sqrt[3]{9^{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

ステップ 14.1.12.2

$9$ を $2$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{81}}{9}$

ステップ 14.1.12.3

$81$ を $3^{3} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.12.3.1

$27$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

ステップ 14.1.12.3.2

$27$ を $3^{3}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

ステップ 14.1.12.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$

ステップ 14.1.13

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.13.1

$3$ を $3 \sqrt[3]{3}$ で因数分解します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9}$

ステップ 14.1.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.13.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

ステップ 14.1.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

ステップ 14.1.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

ステップ 14.2

$- 8 \sqrt[3]{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - 8 \sqrt[3]{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

ステップ 14.3

$- 8 \sqrt[3]{3}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

ステップ 14.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3 + \sqrt[3]{3}}{3}$

ステップ 14.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.5.1.1

$3$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} + \frac{- 24 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}}{3}$

ステップ 14.5.1.2

$- 24 \sqrt[3]{3}$ と $\sqrt[3]{3}$ をたし算します。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} + \frac{- 23 \sqrt[3]{3}}{3}$

ステップ 14.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{5 \sqrt[12]{174449211009120}}{486} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

10進法形式：

$- 10.89907110 \dots$

微分積分 例

微分積分例