微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 x + 1} - 1}{x}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 x + 1} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{2 x + 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 x + 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 0} x + 1} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.1.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 0} x + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 0 + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{0 + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 x + 1} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $\sqrt{2 x + 1} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 1}$ を ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 1$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 1$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.3

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.12

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.13

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.14

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.15

$\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.16

$2$ を ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.18

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.3.19

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.5

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 1.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 1.5

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{2 x + 1}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} \cdot 1$

ステップ 1.6

$\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 2.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 x + 1}}$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1}}$

ステップ 2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}}$

ステップ 2.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{2 lim_{x \to 0} x + 1}}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 1}}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{0 + 1}}$

ステップ 4.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 4.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{1}$

ステップ 4.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

微分積分 例

微分積分例