微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{\sqrt{4}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x - 4}$

ステップ 1.2

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\sqrt{4} \cdot 2$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{4}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}}{x - 4}$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{\sqrt{4} \cdot 2} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

ステップ 1.3.3

$\sqrt{4} \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{4}} - \frac{\sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}}{x - 4}$

ステップ 2

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}} \cdot \frac{1}{x - 4}$

ステップ 2.2

$\frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4}}$ に $\frac{1}{x - 4}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} 2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$x$ が $4$ に近づくと定数である $2 - \sqrt{4}$ の極限値を求めます。

$\frac{2 - \sqrt{4}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.2

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 - \sqrt{2^{2}}}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.2.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

ステップ 3.1.2.2.2

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 2 \sqrt{4} (x - 4)}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.3.1.1

$2 \sqrt{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{2 \sqrt{4} lim_{x \to 4} x - 4}$

ステップ 3.1.3.1.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}$

ステップ 3.1.3.1.3

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2 \sqrt{4} (4 - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.3.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{2 \sqrt{2^{2}} (4 - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{2 \cdot 2 (4 - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{4 (4 - 1 \cdot 4)}$

ステップ 3.1.3.3.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{4 (4 - 4)}$

ステップ 3.1.3.3.5

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

ステップ 3.1.3.3.6

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{4}}{2 \sqrt{4} (x - 4)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{4}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - \sqrt{2^{2}}]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 - 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.4

総和則では、 $2 - 1 \cdot 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.6

$\frac{d}{d x} [- 1 \cdot 2]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.6.2

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{0 + 0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.7

$0$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{4} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.8

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{2^{2}} (x - 4)]}$

ステップ 3.3.9

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x - 4)]}$

ステップ 3.3.10

$2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{\frac{d}{d x} [4 (x - 4)]}$

ステップ 3.3.11

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 (x - 4)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x - 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 3.3.12

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

ステップ 3.3.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

ステップ 3.3.14

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 (1 + 0)}$

ステップ 3.3.15

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.3.16

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{4}$

ステップ 3.4

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{4 (0)}{4}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{0}{1}$

ステップ 3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 4} 0$

ステップ 4

$x$ が $4$ に近づくと定数である $0$ の極限値を求めます。

$0$

微分積分 例

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