微分積分例

$lim_{x \to - 5} \frac{4 f (x) + x - 2}{f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

ステップ 1

$x$ が $- 5$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to - 5} 4 f (x) + x - 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

ステップ 2

$x$ が $- 5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 5} 4 f (x) + lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

ステップ 3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - lim_{x \to - 5} 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

ステップ 4

$x$ が $- 5$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + \sqrt{f (x)}}$

ステップ 5

$x$ が $- 5$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) g (x) + lim_{x \to - 5} \sqrt{f (x)}}$

ステップ 6

$x$ が $- 5$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + lim_{x \to - 5} \sqrt{f (x)}}$

ステップ 7

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to - 5} f (x) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

ステップ 8

すべての $x$ に $- 5$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 8.1

$x$ を $- 5$ に代入し、 $f (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{4 f (- 5) + lim_{x \to - 5} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

ステップ 8.2

$x$ を $- 5$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to - 5} f (x) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

ステップ 8.3

$x$ を $- 5$ に代入し、 $f (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 1 \cdot 2}{f (- 5) \cdot lim_{x \to - 5} g (x) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

ステップ 8.4

$x$ を $- 5$ に代入し、 $g (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 1 \cdot 2}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{lim_{x \to - 5} f (x)}}$

ステップ 8.5

$x$ を $- 5$ に代入し、 $f (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 1 \cdot 2}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 f (- 5) - 5 - 2}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$

ステップ 9.1.2

$- 5$ から $2$ を引きます。

$\frac{4 f (- 5) - 7}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$

ステップ 9.2

$\frac{4 f (- 5) - 7}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$ に $\frac{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}$ をかけます。

$\frac{4 f (- 5) - 7}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}} \cdot \frac{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}$

ステップ 9.3

$\frac{4 f (- 5) - 7}{f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}}$ に $\frac{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}{f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)}}$ をかけます。

$\frac{(4 f (- 5) - 7) (f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)})}{(f (- 5) \cdot g (- 5) + \sqrt{f (- 5)}) (f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)})}$

ステップ 9.4

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(4 f (- 5) - 7) (f (- 5) \cdot g (- 5) - \sqrt{f (- 5)})}{{f (- 5)}^{2} {g (- 5)}^{2} + f (- 5) g (- 5) (- \sqrt{f (- 5)}) + \sqrt{f (- 5)} (f (- 5) g (- 5)) - {\sqrt{f (- 5)}}^{2}}$

ステップ 9.5

簡約します。

$\frac{(4 f (- 5) - 7) (f (- 5) g (- 5) - \sqrt{f (- 5)})}{{f (- 5)}^{2} {g (- 5)}^{2} - f (- 5)}$

微分積分 例

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