微分積分例

${\cos (3 x)}^{\sin (3 x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${\cos (3 x)}^{\sin (3 x)}$ を $e^{\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})}]$

ステップ 1.2

$\sin (3 x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\cos (3 x)}^{\sin (3 x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))$ で置き換えます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \frac{d}{d x} [\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))]$

ステップ 3

$f (x) = \sin (3 x)$ および $g (x) = \ln (\cos (3 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))] + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (3 x)$ とします。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (3 x)$ で置き換えます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\frac{1}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 5

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ を $\sec (3 x)$ に変換します。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) (\sec (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 6

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $3 x$ とします。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 6.2

$u_{3}$ に関する $\cos (u_{3})$ の微分係数は $- \sin (u_{3})$ です。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 6.3

$u_{3}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sin (3 x) \sec (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 7

$\sin (3 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- (\sin^{1} (3 x) \sin (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 8

$\sin (3 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- (\sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x)) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 10

微分します。

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ステップ 10.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 10.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- \sin^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 10.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 10.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x) \cdot 1) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 10.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

ステップ 11

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 11.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $3 x$ とします。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

ステップ 11.2

$u_{4}$ に関する $\sin (u_{4})$ の微分係数は $\cos (u_{4})$ です。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

ステップ 11.3

$u_{4}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

ステップ 12

微分します。

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ステップ 12.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 12.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) (3 \cdot 1))$

ステップ 12.3

式を簡約します。

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ステップ 12.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x) \cdot 3)$

ステップ 12.3.2

$3$ を $\ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)$ の左に移動させます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + 3 \cdot (\ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

分配則を当てはめます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (\sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x))) + e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} (3 \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x))$

ステップ 13.2

$3$ を $e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))}$ の左に移動させます。

$e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \sec (3 x) (- 3 \sin^{2} (3 x)) + 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \ln (\cos (3 x)) \cos (3 x)$

ステップ 13.3

項を並べ替えます。

$- 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \sin^{2} (3 x) \sec (3 x) + 3 e^{\sin (3 x) \ln (\cos (3 x))} \cos (3 x) \ln (\cos (3 x))$

微分積分 例

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