微分積分例

$\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - 1))$

ステップ 1

$\frac{2}{π}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{π} \cdot \sin (\frac{π}{2} (x - 1))$ の微分係数は $\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$ です。

$\frac{2}{π} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - 1))]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{π}{2} (x - 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π}{2} (x - 1)$ とします。

$\frac{2}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{2}{π} (\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ と $\frac{2}{π}$ をまとめます。

$\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 2}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

ステップ 3.2

$2$ を $\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - 1)]$

ステップ 3.3

$\frac{π}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π}{2} (x - 1)$ の微分係数は $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$ です。

$\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π}$ をかけます。

$\frac{π (2 \cos (\frac{π}{2} (x - 1)))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4.2

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{2 π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4.4

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{π \cos (\frac{π}{2} (x - 1))}{π} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4.4.2

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ を $1$ で割ります。

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) (1 + 0)$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1)) \cdot 1$

ステップ 3.8.2

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$ に $1$ をかけます。

$\cos (\frac{π}{2} (x - 1))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} \cdot - 1)$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$\frac{π}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{π \cdot - 1}{2})$

ステップ 4.2.2

$- 1$ を $π$ の左に移動させます。

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- 1 \cdot π}{2})$

ステップ 4.2.3

$- 1 π$ を $- π$ に書き換えます。

$\cos (\frac{π}{2} x + \frac{- π}{2})$

ステップ 4.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2})$

微分積分 例

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