微分積分例

${(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$ を $e^{\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})}]$

ステップ 1.2

$b x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ で置き換えます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

ステップ 3

$b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ の微分係数は $b \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{a}{x})]$ です。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{a}{x})])$

ステップ 4

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (1 + \frac{a}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + \frac{a}{x}$ とします。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + \frac{a}{x}$ で置き換えます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ と $x$ をまとめます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.2

総和則では、 $1 + \frac{a}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ です。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ をたし算します。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.5

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{a}{x}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.6

分数をまとめます。

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ステップ 6.6.1

$a$ と $\frac{x}{1 + \frac{a}{x}}$ をまとめます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.6.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 6.8

$\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7

指数を足して $x$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a (x^{- 2} x)}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7.2

$x^{- 2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 7.3

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x^{- 1}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 1}$ を分母に移動させます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \cdot 1))$

ステップ 10

$\ln (1 + \frac{a}{x})$ に $1$ をかけます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x})))$

ステップ 11

$\ln (1 + \frac{a}{x})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ を掛けます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}))$

ステップ 12

$\ln (1 + \frac{a}{x})$ と $\frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ をまとめます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x}))$

ステップ 13

公分母の分子をまとめます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \frac{- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x})$

ステップ 14

$b$ と $\frac{- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ をまとめます。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \frac{b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

ステップ 15

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ と $\frac{b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ をまとめます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

ステップ 16.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a) + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

ステップ 16.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a) + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4

分子を簡約します。

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ステップ 16.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 16.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 16.4.1.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4.1.2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.4.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4.1.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + a)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) x + \ln (1 + \frac{a}{x}) a))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b \ln (1 + \frac{a}{x}) x + b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.4.4

$- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{1 x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.5

項をまとめます。

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ステップ 16.5.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a}{x} x}$

ステップ 16.5.2

$\frac{a}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a x}{x}}$

ステップ 16.5.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a x}{x}}$

ステップ 16.5.3.2

$a$ を $1$ で割ります。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + a}$

ステップ 16.6

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

ステップ 16.7

分子を簡約します。

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ステップ 16.7.1

$b$ を $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})$ で因数分解します。

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ステップ 16.7.1.1

$b$ を $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b$ で因数分解します。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

ステップ 16.7.1.2

$b$ を $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ で因数分解します。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

ステップ 16.7.1.3

$b$ を $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})$ で因数分解します。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.1.4

$b$ を $b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}))$ で因数分解します。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.1.5

$b$ を $b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))$ で因数分解します。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.2

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ を $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x})$ で因数分解します。

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ステップ 16.7.2.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.7.2.1.1

$1$ と $\frac{a}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{b (- e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.1.2

$e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ を移動させます。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.1.3

$1$ と $\frac{a}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.1.4

$1$ と $\frac{a}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} x \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.1.5

$e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.1.6

$1$ と $\frac{a}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.1.7

$1$ と $\frac{a}{x}$ を並べ替えます。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.1.8

$e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ と $a$ を並べ替えます。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.2

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ を $- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ で因数分解します。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.3

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ を $x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.4

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ を $a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1)$ で因数分解します。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.5

$e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ を $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1))$ で因数分解します。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

ステップ 16.7.2.6

$e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ を $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1))$ で因数分解します。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.7.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.5.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

ステップ 16.7.5.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.7.5.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.8

$- 1$ を $- a$ で因数分解します。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a) + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.9

$- 1$ を $x \ln (\frac{a + x}{x})$ で因数分解します。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a) - (- x \ln (\frac{a + x}{x})) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.10

$- 1$ を $- (a) - (- x \ln (\frac{a + x}{x}))$ で因数分解します。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.11

$- 1$ を $a \ln (\frac{a + x}{x})$ で因数分解します。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) - (- a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

ステップ 16.12

$- 1$ を $- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) - (- a \ln (\frac{a + x}{x}))$ で因数分解します。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

ステップ 16.13

$- (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))$ を $- 1 (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))$ に書き換えます。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- 1 (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

ステップ 16.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})}) (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

ステップ 16.15

$- \frac{(b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})}) (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

微分積分 例

微分積分例