微分積分例

${(a x^{2} - a^{2})}^{4} + C$

ステップ 1

総和則では、 ${(a x^{2} - a^{2})}^{4} + C$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(a x^{2} - a^{2})}^{4}] + \frac{d}{d x} [C]$ です。

$\frac{d}{d x} [{(a x^{2} - a^{2})}^{4}] + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [{(a x^{2} - a^{2})}^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = a x^{2} - a^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $a x^{2} - a^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [a x^{2} - a^{2}] + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [a x^{2} - a^{2}] + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $a x^{2} - a^{2}$ で置き換えます。

$4 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} \frac{d}{d x} [a x^{2} - a^{2}] + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.2

総和則では、 $a x^{2} - a^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [- a^{2}]$ です。

$4 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [- a^{2}]) + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.3

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x^{2}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- a^{2}]) + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (a (2 x) + \frac{d}{d x} [- a^{2}]) + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.5

$- a^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- a^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (a (2 x) + 0) + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.6

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$4 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (2 \cdot a x + 0) + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.7

$2 a x$ と $0$ をたし算します。

$4 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (2 a x) + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 2.8

$2$ に $4$ をかけます。

$8 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (a x) + \frac{d}{d x} [C]$

ステップ 3

$C$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $C$ の微分係数は $0$ です。

$8 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (a x) + 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$8 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (a x)$ と $0$ をたし算します。

$8 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (a x)$

ステップ 4.2

$8 {(a x^{2} - a^{2})}^{3} (a x)$ の因数を並べ替えます。

$8 a x {(a x^{2} - a^{2})}^{3}$

微分積分 例

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