微分積分例

$(x^{2} - 4 x + 8) e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 4 x + 8$ および $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$(x^{2} - 4 x + 8) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x^{2} - 4 x + 8) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$(x^{2} - 4 x + 8) (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 4 x + 8) e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $e^{\frac{x}{2}}$ をまとめます。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

ステップ 3.4

$x^{2} - 4 x + 8$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 8]$

ステップ 3.5

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.7

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.9

$- 4$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 3.10

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4 + 0)$

ステップ 3.11

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$(x^{2} - 4 x + 8) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} - 4 x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x - 4)$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} - 4 x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$x^{2}$ と $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} - 4 x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.2

$- 4$ と $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x \frac{- 4 e^{\frac{x}{2}}}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.3

$x$ と $\frac{- 4 e^{\frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x (- 4 e^{\frac{x}{2}})}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.4

$- 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

$2$ を $x (- 4 e^{\frac{x}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{2 (x (- 2 e^{\frac{x}{2}}))}{2} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{2 (x (- 2 e^{\frac{x}{2}}))}{2 (1)} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{2 (x (- 2 e^{\frac{x}{2}}))}{2 \cdot 1} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x (- 2 e^{\frac{x}{2}})}{1} + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.4.2.4

$x (- 2 e^{\frac{x}{2}})$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + 8 \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.5

$8$ と $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{8 e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.6

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.6.1

$2$ を $8 e^{\frac{x}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{2 (4 e^{\frac{x}{2}})}{2} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{2 (4 e^{\frac{x}{2}})}{2 (1)} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{2 (4 e^{\frac{x}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + \frac{4 e^{\frac{x}{2}}}{1} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.6.2.4

$4 e^{\frac{x}{2}}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + 4 e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) + e^{\frac{x}{2}} \cdot - 4$

ステップ 4.3.7

$- 4$ を $e^{\frac{x}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + x (- 2 e^{\frac{x}{2}}) + 4 e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{2}} (2 x) - 4 \cdot e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 4.3.8

$e^{\frac{x}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 e^{\frac{x}{2}} - 2 \cdot x e^{\frac{x}{2}} + 2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 4.3.9

$- 2 x e^{\frac{x}{2}}$ と $2 x e^{\frac{x}{2}}$ をたし算します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 e^{\frac{x}{2}} + 0 - 4 e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 4.3.10

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 e^{\frac{x}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}}$

ステップ 4.3.11

$4 e^{\frac{x}{2}}$ から $4 e^{\frac{x}{2}}$ を引きます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 0$

ステップ 4.3.12

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x^{2}}{2}$

ステップ 4.5

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x^{2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2}$

微分積分 例

微分積分例