微分積分例

$\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

交点 $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (\frac{u}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$ は $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}$ です。

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}$ を ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d u} [{({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.4

${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ および $g (u) = {(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ は $f' (g (u)) g' (u)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 7

和の法則を使って微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

ステップ 7.3

総和則では、 ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1]$ です。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 8

$f (u) = u^{2}$ および $g (u) = \frac{u}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ は $f' (g (u)) g' (u)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{u}{2}$ とします。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 8.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{u}{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

$2$ と $\frac{u}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 9.2.2

$u$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 9.3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $\frac{u}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]$ です。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u (\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 9.4

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 9.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 9.6

$\frac{u}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + \frac{d}{d u} [- 1])$

ステップ 9.7

$- 1$ は $u$ について定数なので、 $u$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + 0)$

ステップ 9.8

分数をまとめます。

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ステップ 9.8.1

$\frac{u}{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{u}{2}$

ステップ 9.8.2

$\frac{u}{2}$ に $\frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$- \frac{u}{2 (2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 9.8.3

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{u}{4 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

積の法則を $\frac{u}{2}$ に当てはめます。

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{4} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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