微分積分例

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

ステップ 2

$\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ を積として書き換えます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

ステップ 3

$\sin (t)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$\sin (t)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

ステップ 4.2

$\frac{1}{\sin (2 t)}$ を $\csc (2 t)$ に変換します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

ステップ 5

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = \csc (2 t)$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 6

$f (t) = \csc (t)$ および $g (t) = 2 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 t$ とします。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 6.2

$u$ に関する $\csc (u)$ の微分係数は $- \csc (u) \cot (u)$ です。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $2 t$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 7.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

ステップ 8

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$\sin (t)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.2

$- 2$ と $\frac{\sin (t)}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.3

$\csc (2 t)$ と $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ をまとめます。

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.4

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ と $\cot (2 t)$ をまとめます。

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.5

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.5.1

$2$ を $\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ で因数分解します。

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.5.2.4

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ を $1$ で割ります。

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

ステップ 9.2.6

$\csc (2 t)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

ステップ 9.2.7

$\frac{\csc (2 t)}{2}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.3

項を並べ替えます。

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4

各項を簡約します。

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ステップ 9.4.1

正弦と余弦に関して $\cot (2 t)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.2

正弦と余弦に関して $\csc (2 t)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.3

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ を掛けます。

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ステップ 9.4.3.1

$\frac{1}{\sin (2 t)}$ に $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ をかけます。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.3.2

$\sin (2 t)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.3.3

$\sin (2 t)$ を $1$ 乗します。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.4

$\sin (t)$ と $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.5

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.6

分母を簡約します。

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ステップ 9.4.6.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.6.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 9.4.6.2.1

積の法則を $2 \sin (t) \cos (t)$ に当てはめます。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.6.2.2

積の法則を $2 \sin (t)$ に当てはめます。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.6.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.7

共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.7.1

$\sin (t)$ を $4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ で因数分解します。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.7.2

共通因数を約分します。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.7.3

式を書き換えます。

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.8

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.9

正弦と余弦に関して $\csc (2 t)$ を書き換えます。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

ステップ 9.4.10

$\frac{1}{\sin (2 t)}$ と $\cos (t)$ をまとめます。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

ステップ 9.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 9.4.11.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

ステップ 9.4.11.2

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.11.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

ステップ 9.4.11.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

ステップ 9.4.12

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 9.4.13

$\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 9.4.13.1

$\frac{1}{2 \sin (t)}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

ステップ 9.4.13.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5

各項を簡約します。

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ステップ 9.5.1

分数を分解します。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.2

$\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.3

$\cos (2 t)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.4.1

$\cos (2 t)$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.4.2

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.5

$1$ を掛けます。

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.6

分数を分解します。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.7

$\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ を $\sec^{2} (t)$ に変換します。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.8

$4$ に $1$ をかけます。

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.9

$\frac{1}{4}$ と $\sec^{2} (t)$ をまとめます。

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.10

$\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ を掛けます。

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ステップ 9.5.10.1

$\cos (2 t)$ と $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ をまとめます。

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.10.2

$\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ と $\csc (t)$ をまとめます。

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

ステップ 9.5.11

分数を分解します。

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

ステップ 9.5.12

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

ステップ 9.5.13

$\frac{1}{4}$ と $\csc (t)$ をまとめます。

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$

微分積分 例

微分積分例