微分積分例

${(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{4}$

ステップ 1

$f (z) = {(2 z + 1)}^{5}$ および $g (z) = {(3 z - 1)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ は $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ であるという積の法則を使って微分します。

${(2 z + 1)}^{5} \frac{d}{d z} [{(3 z - 1)}^{4}] + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 2

$f (z) = z^{4}$ および $g (z) = 3 z - 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 z - 1$ とします。

${(2 z + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d z} [3 z - 1]) + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(2 z + 1)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d z} [3 z - 1]) + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 z - 1$ で置き換えます。

${(2 z + 1)}^{5} (4 {(3 z - 1)}^{3} \frac{d}{d z} [3 z - 1]) + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$4$ を ${(2 z + 1)}^{5}$ の左に移動させます。

$4 \cdot {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} \frac{d}{d z} [3 z - 1] + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 3.2

総和則では、 $3 z - 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [3 z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ です。

$4 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} (\frac{d}{d z} [3 z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 3.3

$3$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $3 z$ の微分係数は $3 \frac{d}{d z} [z]$ です。

$4 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$4 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d z} [- 1]) + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 3.6

$- 1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} (3 + 0) + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$4 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} \cdot 3 + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 3.7.2

$3$ に $4$ をかけます。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + {(3 z - 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(2 z + 1)}^{5}]$

ステップ 4

$f (z) = z^{5}$ および $g (z) = 2 z + 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ は $f' (g (z)) g' (z)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 z + 1$ とします。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + {(3 z - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d z} [2 z + 1])$

ステップ 4.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + {(3 z - 1)}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d z} [2 z + 1])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 z + 1$ で置き換えます。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + {(3 z - 1)}^{4} (5 {(2 z + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [2 z + 1])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$5$ を ${(3 z - 1)}^{4}$ の左に移動させます。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 5 \cdot {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [2 z + 1]$

ステップ 5.2

総和則では、 $2 z + 1$ の $z$ に関する積分は $\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [1]$ です。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 5 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4} (\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 5.3

$2$ は $z$ に対して定数なので、 $z$ に対する $2 z$ の微分係数は $2 \frac{d}{d z} [z]$ です。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 5 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4} (2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ は $n z^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 5 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 5.5

$2$ に $1$ をかけます。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 5 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d z} [1])$

ステップ 5.6

$1$ は $z$ について定数なので、 $z$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 5 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4} (2 + 0)$

ステップ 5.7

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 5 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4} \cdot 2$

ステップ 5.7.2

$2$ に $5$ をかけます。

$12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 10 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4}$

ステップ 5.7.3

$2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3}$ を $12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3} + 10 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 5.7.3.1

$2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3}$ を $12 {(2 z + 1)}^{5} {(3 z - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3} (6 (2 z + 1)) + 10 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4}$

ステップ 5.7.3.2

$2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3}$ を $10 {(3 z - 1)}^{4} {(2 z + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3} (6 (2 z + 1)) + 2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3} (5 (3 z - 1))$

ステップ 5.7.3.3

$2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3}$ を $2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3} (6 (2 z + 1)) + 2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3} (5 (3 z - 1))$ で因数分解します。

$2 {(2 z + 1)}^{4} {(3 z - 1)}^{3} (6 (2 z + 1) + 5 (3 z - 1))$

微分積分 例

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