微分積分例

${(x^{2} - 4)}^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 4$ で置き換えます。

$2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 (x^{2} - 4) (2 x)$

ステップ 1.2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (x^{2} - 4) x$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x$

ステップ 1.3.3

項をまとめます。

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ステップ 1.3.3.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x$

ステップ 1.3.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x$

ステップ 1.3.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x$

ステップ 1.3.3.4

$4$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 16 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $12 x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$24 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$24 x + 0$

ステップ 3.3.2

$24 x$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 24 x$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 \cdot 1$

ステップ 4.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 24$

微分積分 例

微分積分例