微分積分例

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ です。

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (a) = a^{4}$ および $g (a) = a + b$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $a + b$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $a + b$ で置き換えます。

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.2.2

総和則では、 $a + b$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ です。

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.2.4

$b$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.2.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.2.6

$4$ に $1$ をかけます。

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $- {(a - b)}^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ です。

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

ステップ 1.3.2

$f (a) = a^{4}$ および $g (a) = a - b$ のとき、 $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ は $f' (g (a)) g' (a)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $a - b$ とします。

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

ステップ 1.3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

ステップ 1.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $a - b$ で置き換えます。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

ステップ 1.3.3

総和則では、 $a - b$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ です。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

ステップ 1.3.5

$- b$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $- b$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

ステップ 1.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 1.3.7

$4$ に $1$ をかけます。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

ステップ 1.3.8

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$4$ を $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.1.1

$4$ を $4 {(a + b)}^{3}$ で因数分解します。

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

ステップ 1.4.1.2

$4$ を $- 4 {(a - b)}^{3}$ で因数分解します。

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

ステップ 1.4.1.3

$4$ を $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ で因数分解します。

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

ステップ 1.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

二項定理を利用します。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

ステップ 1.4.2.2

二項定理を利用します。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

ステップ 1.4.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

ステップ 1.4.2.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

ステップ 1.4.2.3.3

積の法則を $- b$ に当てはめます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

ステップ 1.4.2.3.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

ステップ 1.4.2.3.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

ステップ 1.4.2.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

ステップ 1.4.2.3.7

積の法則を $- b$ に当てはめます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

ステップ 1.4.2.3.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

ステップ 1.4.2.4

分配則を当てはめます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

ステップ 1.4.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.5.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

ステップ 1.4.2.5.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

ステップ 1.4.2.5.3

$- - b^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.5.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

ステップ 1.4.2.5.3.2

$b^{3}$ に $1$ をかけます。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

ステップ 1.4.2.6

括弧を削除します。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

ステップ 1.4.3

$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.4.3.1

$a^{3}$ から $a^{3}$ を引きます。

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

ステップ 1.4.3.2

$3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ と $0$ をたし算します。

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

ステップ 1.4.3.3

$3 a b^{2}$ から $3 a b^{2}$ を引きます。

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

ステップ 1.4.3.4

$3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ と $0$ をたし算します。

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

ステップ 1.4.4

$3 a^{2} b$ と $3 a^{2} b$ をたし算します。

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

ステップ 1.4.5

$b^{3}$ と $b^{3}$ をたし算します。

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

ステップ 1.4.6

分配則を当てはめます。

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

ステップ 1.4.7

$2$ に $4$ をかけます。

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

ステップ 1.4.8

$6$ に $4$ をかけます。

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ です。

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

ステップ 2.1.2

$8 b^{3}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $8 b^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$24 b$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $24 a^{2} b$ の微分係数は $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ です。

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 24 b (2 a)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $24$ をかけます。

$0 + 48 b a$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0$ と $48 b a$ をたし算します。

$48 b a$

ステップ 2.3.2

$48 b a$ の因数を並べ替えます。

$f'' (a) = 48 a b$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$48 b$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $48 a b$ の微分係数は $48 b \frac{d}{d a} [a]$ です。

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$48 b \cdot 1$

ステップ 3.3

$48$ に $1$ をかけます。

$f''' (a) = 48 b$

ステップ 4

$48 b$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $48 b$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (a) = 0$

微分積分 例

微分積分例