微分積分例

$x^{n}$

ステップ 1

$n = n$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = n x^{n - 1}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$n$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $n x^{n - 1}$ の微分係数は $n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$ です。

$n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$

ステップ 2.2

$n = n - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n ((n - 1) x^{n - 1 - 1})$

ステップ 2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ から $1$ を引きます。

$n ((n - 1) x^{n - 2})$

ステップ 2.3.2

$n ((n - 1) x^{n - 2})$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{n - 2} n (n - 1)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$n (n - 1)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{n - 2} n (n - 1)$ の微分係数は $n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$ です。

$n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$

ステップ 3.2

$n = n - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 2 - 1})$

ステップ 3.3

$- 2$ から $1$ を引きます。

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分配則を当てはめます。

$(n \cdot n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$n$ を $1$ 乗します。

$(n^{1} n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

ステップ 3.4.2.2

$n$ を $1$ 乗します。

$(n^{1} n^{1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

ステップ 3.4.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(n^{1 + 1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

ステップ 3.4.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(n^{2} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

ステップ 3.4.2.5

$- 1$ を $n$ の左に移動させます。

$(n^{2} - 1 \cdot n) ((n - 2) x^{n - 3})$

ステップ 3.4.2.6

$- 1 n$ を $- n$ に書き換えます。

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$

ステップ 3.4.3

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

$(n - 2) (n^{2} - n)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$ の微分係数は $(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$ です。

$(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$

ステップ 4.2

$n = n - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 3 - 1})$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 3$ から $1$ を引きます。

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$

ステップ 4.3.2

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$ の因数を並べ替えます。

$f^{4} (x) = x^{n - 4} (n - 2) (n - 3) (n^{2} - n)$

微分積分 例

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