微分積分例

$2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 1.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

ステップ 1.4.2.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

ステップ 1.4.2.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$f' (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.2.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \cos (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$- 4 \sin (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 3.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- 4 \sin (2 x) - 2 (- \sin (x))$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f''' (x) = - 4 \sin (2 x) + 2 \sin (x)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $- 4 \sin (2 x) + 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \sin (2 x)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$- 4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$- 4 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.2.7

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 4.3

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$- 8 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 4.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f^{4} (x) = - 8 \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

微分積分 例

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