微分積分例

$\sum_{i = 1}^{8} 15 + 4^{i - 1}$

ステップ 1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{8} 15 + 4^{i - 1} = \sum_{k = 1}^{8} 15 + \sum_{k = 1}^{8} 4^{i - 1}$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{8} 15$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.2

値を公式に代入します。

$(15) (8)$

ステップ 2.3

$15$ に $8$ をかけます。

$120$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{8} 4^{i - 1}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 3.2

公式 $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

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ステップ 3.2.1

$a_{k}$ と $a_{k + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{4^{i + 1 - 1}}{4^{i - 1}}$

ステップ 3.2.2

簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$4^{i + 1 - 1}$ と $4^{i - 1}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$4^{i - 1}$ を $4^{i + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1}}$

ステップ 3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{4^{i - 1} \cdot 4^{i + 0 - (i - 1)}}{4^{i - 1} \cdot 1}$

ステップ 3.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{4^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

ステップ 3.2.2.1.2.4

$4^{i + 0 - (i - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = 4^{i + 0 - (i - 1)}$

ステップ 3.2.2.2

$i$ と $0$ をたし算します。

$r = 4^{i - (i - 1)}$

ステップ 3.2.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$r = 4^{i - i - - 1}$

ステップ 3.2.2.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = 4^{i - i + 1}$

ステップ 3.2.2.4

$i$ から $i$ を引きます。

$r = 4^{0 + 1}$

ステップ 3.2.2.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = 4^{1}$

ステップ 3.2.2.6

指数を求めます。

$r = 4$

ステップ 3.3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.3.1

$i$ の $1$ を $4^{i - 1}$ に代入します。

$a = 4^{1 - 1}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 4^{0}$

ステップ 3.3.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 1$

ステップ 3.4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$1 \frac{1 - 4^{8}}{1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{1 - 4^{8}}{1 - 1 \cdot 4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 4^{8}}{1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$4$ を $8$ 乗します。

$\frac{1 - 1 \cdot 65536}{1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.5.2.2

$- 1$ に $65536$ をかけます。

$\frac{1 - 65536}{1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.5.2.3

$1$ から $65536$ を引きます。

$\frac{- 65535}{1 - 1 \cdot 4}$

ステップ 3.5.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 65535}{1 - 4}$

ステップ 3.5.3.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 65535}{- 3}$

ステップ 3.5.4

$- 65535$ を $- 3$ で割ります。

$21845$

ステップ 4

合計した結果をたします。

$120 + 21845$

ステップ 5

$120$ と $21845$ をたし算します。

$21965$

微分積分 例

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