微分積分例

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k - 6}{4}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

$3$ を $3 k - 6$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$3$ を $3 k$ で因数分解します。

$\frac{3 (k) - 6}{4}$

ステップ 1.1.2

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{3 k + 3 \cdot - 2}{4}$

ステップ 1.1.3

$3$ を $3 k + 3 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{3 (k - 2)}{4}$

ステップ 1.2

総和を書き換えます。

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 (k - 2)}{4}$

ステップ 2

総和を分割し、 $k$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} - \sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} + \sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$

ステップ 3.2

$\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4}$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

総和から因数 $\frac{3}{4}$ をくくり出します。

$(\frac{3}{4}) \sum_{k = 1}^{31} k$

ステップ 3.2.2

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 3.2.3

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(\frac{3}{4}) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

ステップ 3.2.4

簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1.1

$31$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{31 \cdot 32}{2}$

ステップ 3.2.4.1.2

$31$ に $32$ をかけます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{992}{2}$

ステップ 3.2.4.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$4$ を $992$ で因数分解します。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 (248)}{2}$

ステップ 3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 248}{2}$

ステップ 3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$3 (\frac{248}{2})$

ステップ 3.2.4.3

$3$ と $\frac{248}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 248}{2}$

ステップ 3.2.4.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.4.1

$3$ に $248$ をかけます。

$\frac{744}{2}$

ステップ 3.2.4.4.2

$744$ を $2$ で割ります。

$372$

ステップ 3.3

$\sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 3.3.2

値を公式に代入します。

$(- \frac{3}{2}) (31)$

ステップ 3.3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$(- \frac{3}{2}) (31)$ を掛けます。

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ステップ 3.3.3.1.1

$31$ に $- 1$ をかけます。

$- 31 (\frac{3}{2})$

ステップ 3.3.3.1.2

$- 31$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 31 \cdot 3}{2}$

ステップ 3.3.3.1.3

$- 31$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 93}{2}$

ステップ 3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{93}{2}$

ステップ 3.4

合計した結果をたします。

$372 - \frac{93}{2}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$372$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$372 \cdot \frac{2}{2} - \frac{93}{2}$

ステップ 3.5.2

$372$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{372 \cdot 2}{2} - \frac{93}{2}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{372 \cdot 2 - 93}{2}$

ステップ 3.5.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$372$ に $2$ をかけます。

$\frac{744 - 93}{2}$

ステップ 3.5.4.2

$744$ から $93$ を引きます。

$\frac{651}{2}$

ステップ 4

$\sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$k$ の各値の級数を展開します。

$\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} + \dots + \frac{3 \cdot 5}{4} - \frac{3}{2}$

ステップ 4.2

展開形を簡約します。

$\frac{15}{4}$

ステップ 5

総和を求めた値で置換します。

$\frac{651}{2} - \frac{15}{4}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{651}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{651}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

ステップ 6.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.1

$\frac{651}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{651 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{651 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

ステップ 6.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{651 \cdot 2 - 15}{4}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$651$ に $2$ をかけます。

$\frac{1302 - 15}{4}$

ステップ 6.4.2

$1302$ から $15$ を引きます。

$\frac{1287}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1287}{4}$

10進法形式：

$321.75$

帯分数形：

$321 \frac{3}{4}$

微分積分 例

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