微分積分例

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x h} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 1

極限を求めます。

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ステップ 1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 + 2 x h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} 2 x h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + lim_{h \to 0} 2 x h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 1.5

$2 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{1 + 2 x lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sqrt{1 + 2 x}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + 2 x lim_{h \to 0} h} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{1 + 2 x \cdot 0} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$2 x \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + 0 x} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 3.1.2

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

ステップ 3.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1 - \sqrt{1 + 2 x}}{h}$

微分積分 例