微分積分例

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づくと定数である $\frac{1}{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) - \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.2.3.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.2.3.4

$0$ を $2$ で割ります。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{3}}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $\frac{π}{3}$ に近づくと定数である $\frac{π}{3}$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{3}} x - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\frac{π}{3} - \frac{π}{3}}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{0}{\frac{π - π}{3}}$

ステップ 1.3.3.2

$π$ から $π$ を引きます。

$\frac{0}{\frac{0}{3}}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ を $3$ で割ります。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{3}} = lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $\cos (x) - \frac{1}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

ステップ 3.4

$- \frac{1}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{1}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

ステップ 3.5

$- \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $x - \frac{π}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]}$

ステップ 3.8

$- \frac{π}{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{1 + 0}$

ステップ 3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- \sin (x)}{1}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$- \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \frac{π}{3}} - \sin (x)$

ステップ 4.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (x)$

ステップ 4.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} x)$

ステップ 5

$x$ を $\frac{π}{3}$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$- \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 6

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

10進法形式：

$- 0.86602540 \dots$

微分積分 例

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