微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.2.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}$

ステップ 1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}$

ステップ 1.3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}$

ステップ 1.3.4

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}$

ステップ 1.3.4.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} - 2 \cdot 2}$

ステップ 1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 - 2 \cdot 2}$

ステップ 1.3.5.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{4 - 4}$

ステップ 1.3.5.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.5.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $x^{2} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x}{2 x - 2 \cdot 1}$

ステップ 3.8.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x}{2 x - 2}$

ステップ 4

$2$ と $2 x - 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x)}{2 x - 2}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x)}{2 (x) - 2}$

ステップ 4.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x)}{2 (x) + 2 (- 1)}$

ステップ 4.2.3

$2$ を $2 (x) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x)}{2 (x - 1)}$

ステップ 4.2.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x}{2 (x - 1)}$

ステップ 4.2.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 2} \frac{x}{x - 1}$

ステップ 5

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x - 1}$

ステップ 6

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}$

ステップ 7

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 8

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{2 - 1 \cdot 1}$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{2 - 1}$

ステップ 9.1.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{1}$

ステップ 9.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

微分積分 例

微分積分例