微分積分例

$lim_{x \to 0} {\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ を $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\ln (\cos (x))$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$

ステップ 3

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 3.1.2.3.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.2.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

ステップ 3.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$e^{\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

ステップ 3.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{\frac{0}{0^{2}}}$

ステップ 3.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{\frac{0}{0}}$

ステップ 3.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 3.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

ステップ 3.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{2 x}}$

ステップ 3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2 x}}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{2 x}$ に $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{2 x \cos (x)}}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x \cos (x)}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \cos (x)}}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x)}}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x)}}$

ステップ 5.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x)}}$

ステップ 5.1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x)}}$

ステップ 5.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

ステップ 5.1.3.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.1.3.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 5.1.3.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos (0)}}$

ステップ 5.1.3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.4.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}}$

ステップ 5.1.3.4.2

$0$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 5.1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 5.1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)]}}$

ステップ 5.3.3

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 5.3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}}$

ステップ 5.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}}$

ステップ 5.3.6

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}}$

ステップ 5.3.7

項を並べ替えます。

$e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- x \sin (x) + \cos (x)}}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}}$

ステップ 6.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \cos (x)}}$

ステップ 6.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

ステップ 6.4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

ステップ 6.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

ステップ 6.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x)}}$

ステップ 7.4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}}$

ステップ 8.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}}$

ステップ 8.2.2

$0$ に $0$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 + \cos (0)}}$

ステップ 8.2.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0 + 1}}$

ステップ 8.2.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

ステップ 8.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

共通因数を約分します。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}}$

ステップ 8.3.2

式を書き換えます。

$e^{- \frac{1}{2} \cdot 1}$

ステップ 8.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 8.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例