微分積分例

$lim_{x \to 0} {\sin (x)}^{x}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 1.1

${\sin (x)}^{x}$ を $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$

ステップ 1.2

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\sin (x)}^{x})$ を展開します。

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\sin (x))}$

ステップ 2

極限を左側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\sin (x))}$

ステップ 3

値を変数に代入して極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $e^{x \ln (\sin (x))}$ の極限値を求めます。

$e^{0 \ln (\sin (0))}$

ステップ 3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$e^{0 \ln (0)}$

ステップ 3.3

$e^{0 \ln (0)}$ が未定義なので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 4

極限を右側極限として設定します。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

ステップ 5

右側極限を求めます。

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ステップ 5.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

ステップ 5.2

表を作り、 $x$ が右から $0$ に近づくときの関数 $x \ln (\sin (x))$ の動作を表します。

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

ステップ 5.3

$x$ 値が $0$ に近づくので、関数の値は $0$ に近づきます。ゆえに、 $x$ が右から $0$ に近づくときの $x \ln (\sin (x))$ の極限は $0$ です。

$e^{0}$

ステップ 5.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

ステップ 6

グラフの山または谷の点のいずれもない場合、極限はありません。

$存在しない$

微分積分 例

微分積分例