微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} - 2 x}{x - \sin (x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x} - 2 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.5

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - e^{0} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.6.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - e^{0} - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - e^{0} - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.7.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.7.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.7.1.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.7.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.2.7.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 1.3.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.3

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

ステップ 1.3.4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.4.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0 - 0}$

ステップ 1.3.4.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} - 2 x}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $e^{x} - e^{- x} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (- 1 e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.4.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.5

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.5.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

ステップ 3.6

総和則では、 $x - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

ステップ 3.8

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 3.8.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (x)}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x} - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 + e^{0} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.7.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.7.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.7.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.2.7.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 4.1.3.1.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

ステップ 4.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 4.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x} - 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $e^{x} + e^{- x} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.4

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.4.1.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.4.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.4.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.4.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.6

$e^{x} - e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

ステップ 4.3.7

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

ステップ 4.3.8

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

ステップ 4.3.9

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

ステップ 4.3.9.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 - - \sin (x)}$

ステップ 4.3.9.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + 1 \sin (x)}$

ステップ 4.3.9.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{0 + \sin (x)}$

ステップ 4.3.10

$0$ と $\sin (x)$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.4

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.6.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.6.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.2.6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

ステップ 5.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 5.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 5.1.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $e^{x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.4.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

ステップ 5.3.5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x}}{\cos (x)}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 6.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 6.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 6.4

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 6.5

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

ステップ 6.6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 7

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} + e^{- lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 7.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 7.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{0} + e^{0}}{\cos (0)}$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 + e^{0}}{\cos (0)}$

ステップ 8.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1 + 1}{\cos (0)}$

ステップ 8.1.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{\cos (0)}$

ステップ 8.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2}{1}$

ステップ 8.3

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

微分積分 例

微分積分例