微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.2.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.1.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.2.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.2

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.6

$- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.6.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.6.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.6.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.2.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.5

$\cos^{2} (x)$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.5.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.5.2.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.5.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.5.5.2.4

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

ステップ 4

極限を求めます。

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ステップ 4.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

ステップ 4.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (0)$

ステップ 6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

微分積分 例

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