微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} π x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

ステップ 1.2.1.2

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\tan (π lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\tan (π \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

ステップ 1.2.3.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

対数の内側に極限を移動させます。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x)}$

ステップ 1.3.1.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{\ln (1)}$

ステップ 1.3.3.2

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (π x)}{\ln (1 + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (π x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3.3

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3.5

$π$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (π x) π}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3.6

$\sec^{2} (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}$

ステップ 3.7

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 1 + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 + x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}$

ステップ 3.7.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

ステップ 3.7.3

$u$ のすべての発生を $1 + x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}$

ステップ 3.8

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}$

ステップ 3.12

$\frac{1}{1 + x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{1 + x}}$

ステップ 3.13

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{π \sec^{2} (π x)}{\frac{1}{x + 1}}$

ステップ 4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 0} π \sec^{2} (π x) (x + 1)$

ステップ 5

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) (x + 1)$

ステップ 6

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$π lim_{x \to 0} \sec^{2} (π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

ステップ 7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (π x)$ から極限値外側に移動させます。

$π {(lim_{x \to 0} \sec (π x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

ステップ 8

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$π \sec^{2} (lim_{x \to 0} π x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

ステップ 9

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x + 1$

ステップ 10

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

ステップ 11

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$π \sec^{2} (π lim_{x \to 0} x) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

ステップ 12

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (lim_{x \to 0} x + 1)$

ステップ 12.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$π \sec^{2} (π \cdot 0) \cdot (0 + 1)$

ステップ 13

答えを簡約します。

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ステップ 13.1

$π$ に $0$ をかけます。

$π \sec^{2} (0) \cdot (0 + 1)$

ステップ 13.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$π \cdot 1^{2} \cdot (0 + 1)$

ステップ 13.3

1のすべての数の累乗は1です。

$π \cdot 1 \cdot (0 + 1)$

ステップ 13.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π \cdot (0 + 1)$

ステップ 13.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$π \cdot 1$

ステップ 13.6

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

微分積分 例

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