微分積分例

$lim_{x \to 8} {(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$

ステップ 1

対数の性質を利用して極限を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1}$ を $e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})}$

ステップ 1.2

$2 x + 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}^{2 x + 1})$ を展開します。

$lim_{x \to 8} e^{(2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

ステップ 2

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

指数に極限を移動させます。

$e^{lim_{x \to 8} (2 x + 1) \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

ステップ 2.2

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$e^{lim_{x \to 8} 2 x + 1 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

ステップ 2.3

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{(lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

ステップ 2.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

ステップ 2.5

$x$ が $8$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

ステップ 2.6

対数の内側に極限を移動させます。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{2 x - 3}{2 x + 5})}$

ステップ 2.7

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

ステップ 2.8

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

ステップ 2.9

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

ステップ 2.10

$x$ が $8$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + 5})}$

ステップ 2.11

$x$ が $8$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5})}$

ステップ 2.12

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5})}$

ステップ 2.13

$x$ が $8$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$e^{(2 lim_{x \to 8} x + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

ステップ 3

すべての $x$ に $8$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

ステップ 3.2

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 lim_{x \to 8} x + 5})}$

ステップ 3.3

$x$ を $8$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$e^{(2 \cdot 8 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $8$ をかけます。

$e^{(16 + 1) \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

ステップ 4.2

$16$ と $1$ をたし算します。

$e^{17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}$

ステップ 4.3

対数の中の $17$ を移動させて $17 \cdot \ln (\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})$ を簡約します。

$e^{\ln ({(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17})}$

ステップ 4.4

指数関数と対数関数は逆関数です。

${(\frac{2 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

ステップ 4.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$2$ に $8$ をかけます。

${(\frac{16 - 1 \cdot 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

ステップ 4.5.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

${(\frac{16 - 3}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

ステップ 4.5.3

$16$ から $3$ を引きます。

${(\frac{13}{2 \cdot 8 + 5})}^{17}$

ステップ 4.6

分母を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$2$ に $8$ をかけます。

${(\frac{13}{16 + 5})}^{17}$

ステップ 4.6.2

$16$ と $5$ をたし算します。

${(\frac{13}{21})}^{17}$

ステップ 4.7

積の法則を $\frac{13}{21}$ に当てはめます。

$\frac{13^{17}}{21^{17}}$

ステップ 4.8

$13$ を $17$ 乗します。

$\frac{8650415919381340000}{21^{17}}$

ステップ 4.9

$21$ を $17$ 乗します。

$\frac{8650415919381340000}{30041942495081700000000}$

ステップ 4.10

$8650415919381340000$ と $30041942495081700000000$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.1

$20000$ を $8650415919381340000$ で因数分解します。

$\frac{20000 (432520795969067)}{30041942495081700000000}$

ステップ 4.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.10.2.1

$20000$ を $30041942495081700000000$ で因数分解します。

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

ステップ 4.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{20000 \cdot 432520795969067}{20000 \cdot 1502097124754085000}$

ステップ 4.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{432520795969067}{1502097124754085000}$

微分積分 例

微分積分例