微分積分例

$\int {(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

${(\sqrt{a} - \sqrt{x})}^{2}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ に書き換えます。

$\int (\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{a} - \sqrt{x}) (\sqrt{a} - \sqrt{x})$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \sqrt{a} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} (\sqrt{a} - \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \sqrt{a} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$\sqrt{a} \sqrt{a}$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.1.1

$\sqrt{a}$ を $1$ 乗します。

$\int {\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.1.2

$\sqrt{a}$ を $1$ 乗します。

$\int {\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\sqrt{a}}^{1 + 1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int {\sqrt{a}}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.2

${\sqrt{a}}^{2}$ を $a$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{a}$ を $a^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\int a^{\frac{2}{2}} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\int a^{1} + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.2.5

簡約します。

$\int a + \sqrt{a} (- \sqrt{x}) - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\int a - \sqrt{a} \sqrt{x} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{x} \sqrt{a} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} - \sqrt{x} (- \sqrt{x}) d x$

ステップ 1.3.1.6

$- \sqrt{x} (- \sqrt{x})$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + 1 \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

ステップ 1.3.1.6.2

$\sqrt{x}$ に $1$ をかけます。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + \sqrt{x} \sqrt{x} d x$

ステップ 1.3.1.6.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} d x$

ステップ 1.3.1.6.4

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} d x$

ステップ 1.3.1.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1} d x$

ステップ 1.3.1.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {\sqrt{x}}^{2} d x$

ステップ 1.3.1.7

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

ステップ 1.3.1.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

ステップ 1.3.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

ステップ 1.3.1.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{\frac{2}{2}} d x$

ステップ 1.3.1.7.4.2

式を書き換えます。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x^{1} d x$

ステップ 1.3.1.7.5

簡約します。

$\int a - \sqrt{x a} - \sqrt{a x} + x d x$

ステップ 1.3.2

$- \sqrt{x a}$ から $\sqrt{a x}$ を引きます。

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ステップ 1.3.2.1

$x$ と $a$ を並べ替えます。

$\int a - \sqrt{a x} - \sqrt{a x} + x d x$

ステップ 1.3.2.2

$- \sqrt{a x}$ から $\sqrt{a x}$ を引きます。

$\int a - 2 \sqrt{a x} + x d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int a d x + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

ステップ 3

定数の法則を当てはめます。

$a x + C + \int - 2 \sqrt{a x} d x + \int x d x$

ステップ 4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$a x + C - 2 \int \sqrt{a x} d x + \int x d x$

ステップ 5

$u = a x$ とします。次に $d u = a d x$ すると、 $\frac{1}{a} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = a x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$a x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [a x]$

ステップ 5.1.2

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$a \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$a$ に $1$ をかけます。

$a$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$a x + C - 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{a} d u + \int x d x$

ステップ 6

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{a}$ をまとめます。

$a x + C - 2 \int \frac{\sqrt{u}}{a} d u + \int x d x$

ステップ 7

$\frac{1}{a}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{a}$ を積分の外に移動させます。

$a x + C - 2 (\frac{1}{a} \int \sqrt{u} d u) + \int x d x$

ステップ 8

式を簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{a}$ と $- 2$ をまとめます。

$a x + C + \frac{- 2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

ステップ 8.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$a x + C - \frac{2}{a} \int \sqrt{u} d u + \int x d x$

ステップ 8.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$a x + C - \frac{2}{a} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int x d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int x d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$a x + C - \frac{2}{a} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 11.2

簡約します。

$a x - \frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$a x - \frac{4 {(a x)}^{\frac{3}{2}}}{3 a} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

微分積分 例

微分積分例